概率论-个人向使用

记录一些基本的公式和概念，不能作为学习概率论的教程。

供个人使用

使用教材：概率论与数理统计教材【西安交通大学出版】

参考链接：Statistics-note/概率论与数理统计笔记

第一章

1.1 随机事件

必然事件( )：在试验中⼀定会发⽣的事件。

不可能事件( )：在试验中不可能发⽣的事件。

概率为0不一定为不可能事件。

事件的运算

• 子事件- 事件的和、差、积- 对立事件- De Morgan対偶法则

1.2 概率

古典概率计算

高中学习的排列组合....

1.3 各种概念&公式

条件概率

全概率

Bayes公式

1.4 事件的独⽴性

第二章

2.1 一维随机变量

离散型

二项分布

泊松分布

二项分布当n足够大的时候，可以近似为泊松分布，

超几何分布

连续型

正态分布

指数分布

指数分布具有无记忆性的特点

均匀分布

2.2 二维随机变量

联合分布律，边缘分布率...

二维正态分布，二维均匀分布

2.3 条件变量

离散型变量

连续型变量

2.4 随机变量的相互独立性

2.5 随机变量函数的概率分布

离散型变量

连续型变量

1个变量的情况：

多个变量的情况：

1.随机变量和的密度函数 Y=X1+X2

2.随机变量商的密度函数 Y=X2/X1

3.max{X1,X2,...} 和 min{X1,X2,X3} 的分布

第四章

4.1 数学期望

离散型数学期望：

连续型数学期望：

数学期望的性质：

1.线性性质(不写了

2.若干个独立随机变量之积的期望等于各变量的期望之积，即

4.2 方差

方差的性质：

4.3 协方差，相关系数和矩

协方差

相关系数

相关系数p的定义式为

当p=0时，则称X,Y不相关

矩

原点矩

中心矩

3.4 协方差矩阵

第五章

5.1 大数定理

设是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a.又设它们的方差存在并记为.则对任意给定的>0，有

5.2 中心极限定理

核心公式如下：

第六章

6.1 总体和样本

在一个统计问题里，研究对象的全体叫做总体，构成总体的每个成员称为个体。根据个体的数量指标数量，定义总体的维度，如每个个体只有一个数量指标，总体就是一维的，同理，个体有两个数量指标，总体就是二维的。总体就是一个分布，数量指标就是服从这个分布的随机变量。

假设个变量是相互独立的，则有如下公式：

6.2 常用的统计量

有如下常用统计量：

样本均值

样本方差：

k阶原点矩

k阶中心距

p位数:

次序统计量

• 称为该样本的最小次序统计量；

• 称为该样本的最大次序统计量；

常见性质：

如果总体X的方差和均值均存在，则有如下性质：

• - -

6.3 几大分布(重点公式)

函数

卡方分布

性质(记住)

T分布

性质(记住)

F分布

性质(记住)

设独立，，而，则

其他重要性质

1.设独立同分布，有公共的正态分布.记.则

2.设的假定同1，则

3.设独立，各有分布各有分布，则

若，则

第七章

7.1 点估计

矩估计

核心思想就是找到各个参数和中心距或者原点矩的关系，用样本矩代替总体矩(可以是原点矩也可以是中心矩)；计算出参数。

最大似然估计

核心公式如下：

最大似然估计步骤：

• 写出似然函数；

• 对似然函数取对数，并整理；

• 求参数向量的偏导，令其为0，得到似然方程；

• 求解似然方程，其解为参数值。

7.2 估计量的评选标准

无偏性

还有渐进无偏性

有效性

对于两个估计参数的选取需要基于一个度量无偏估计优劣的准则。有效性作为这样的准则，反映了参数估计值和参数真值的波动，波动大小可用方差来衡量，波动越小表示参数的估计越有效。

可以看到前者方差小，有效性好。

相合性

1.相合估计量或一致估计量

2.均方相合估计量

7.3 区间估计

双侧/单侧区间

常见查表

第八章

8.1 假设检验的基本概念

在统计上这两个⾮空不相交参数集合称作统计假设，简称假设。通过样本对⼀个假设作 出对与不对的判断，则称为该假设的⼀个检验。若检验结果否定该命题，则称拒绝这个假设，否则 就接受(不拒绝)这个假设。 假设可分为两种：

1. 参数假设检验，即已经知道数据的分布，针对总体的某个参数进⾏假设检验；

2. ⾮参数假设检验，即数据分布未知，针对该分布进⾏假设检验。

建⽴假设—>选择检验统计量，给出拒绝域形式—>选择显著性⽔平—>给出拒绝域—>做出判断

8.2 参数的假设检验

8.3 分布的假设检验